| 重力による時空の歪みⅣ（重力場方程式） | ||
| (1) このように、時空の曲がり方に関する量である計量 gμνは重力ポテンシャルUの働きをする(③'参照)。 また、重力ポテンシャルUは質量密度をρとしたとき、 次の(ﾄ)に従うことがわかっている。 ▽2U＝4πGρ…④ ▽2：ラプラシアン G ：ニュートンの重力定数 このことから、 時空の曲がり方に関する計量と物質の存在の仕方を 示す量との間を関係付ける一定の方程式が 存在することが予想される。 (2) アインシュタインは(ﾁ)に基づき、 時空世界を(ﾘ)と仮定して 次のような形の重力場方程式を導出した。 Gμν＝(8πG/c4)Tμν…⑤ Gμν：計量から作られる2階の対称テンソル Tμν：エネルギー・運動量テンソル |
(3) 重力場方程式⑤は重力場が弱い場合で、 1) 時間的変動がないときは④となり、 2) 時間的変動があるときは □gμν＝(8πG/c4)Tμν…⑥ □：ダランベルシャン となる。 この⑥は波動方程式の構造を持つことから (ﾇ)の存在が考えられる。 (4) １個の質点が存在するときに作られる時空 (シュワルトシルト時空※)を 重力場方程式⑤で解析すると、万有引力の他に、 ニュートン力学では説明できなかった弱い力が 生ずることがわかり、(ﾙ)を説明することができる。 ※1916年シュワルトシルトが この場合における重力場方程式⑤の厳密解を 求めた。 |
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| ◇ 語群 1.リーマン空間 2.ポアソン方程式 3.重力波 4.等価原理 5.水星の近日点移動 |
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すうがく道場 数学・科学の窓 ☆一般相対性理論(7)☆