「ゲーデルの不完全性定理」って、要するに何だ？
〜子供たちに贈る＜学びのロマン＞ネタ整理〜
| ■「ゲーデルの不完全性定理」の構造 |
| 【1】 (1)自然数論公理系の中の式は、記号の有限列（形式主義）。 (2)有限の立場におけるメタ数学の中の論理文は、記号の有限列で表記可能。 論理文「X（xはxだ）は証明できない」は、論理式（記号の有限列）で表記可能。 ＊有限の立場：有限個の記号列を対象に、有限回の操作によって実行可能な事実のみを基礎とする立場 (3)記号の有限列は自然数（ゲーデル数）と一対一対応が可能。 |
| ↓横軸：対象（要素），縦軸：概念（集合）の座標平面における対角線論法 |
| 【2】 1)メタ数学的表記： G（gはgだ）＝「Gは証明できない」なる式Gが存在 ↓↑翻訳 2)自然数論公理系的表記： G＝¬Pr(G)なる式Gが存在 |
| ↓ |
| 【3】 有限の立場のメタ数学においては、排中律が成り立つ。 ◆第一不完全性定理 a)Gが真の場合 ⇒Gは証明できない…不完全 ⇒証明できない真命題が自然数公理系の中に存在 b)Gが偽の場合 ⇒¬Gが成立⇔Gは証明できる⇔Gが成立…矛盾 ⇒矛盾する命題が自然数公理系の中に存在 ◆第二不完全性定理 自然数論公理系の無矛盾性が証明できると仮定 ⇒b)の否定であるところのa)すなわちGが証明できる ⇒「Gは証明できない」が証明できる ⇒Gは証明できない …矛盾 ∴有限の立場のメタ数学では、自然数論公理系の無矛盾性は証明できない ※式Gは自然数論公理系の中では、メタ数学上の意味を持っておらず、 また、そのゲーデル数は途轍もなく大きいこと、 式Gと同値の式も限りなく存在することから、 自然数論公理系の中から、 完全性・無矛盾性を毀損する命題を特定・排除することは不可能、 ということだろうと考える。 |
| 【参考文献】 ・野矢茂樹著『無限論の教室』 ・吉永良正著『ゲーデル・不完全性定理』 |
| 2015.1.19作成 |