5.不確定性原理
(1)ハイゼルベルグが提唱
可換な演算子に対応する２つの物理量は同時に正確に測定できるが、
可換でない演算子に対応する２つの物理量は同時に正確に測定できない。
→位置と運動量、時間とエネルギーは同時に正確に測定できない。
(2)演算子の可換性
1)２つの演算子Ａ＾，Ｂ＾に対して、
［Ａ＾，Ｂ＾］Ψ≡（Ａ＾Ｂ＾－Ｂ＾Ａ＾）Ψ＝0 →可換
［Ａ＾，Ｂ＾］Ψ≡（Ａ＾Ｂ＾－Ｂ＾Ａ＾）Ψ≠0 →可換でない
2)演算子Ａ＾，Ｂ＾に対応する物理量Ａ，Ｂの分散をそれぞれ（⊿Ａ）2，（⊿Ｂ）2とすると、
（⊿Ａ）2・（⊿Ｂ）2≧(1/4)｜＜Ψ｜［Ａ＾，Ｂ＾］｜Ψ＞｜2 …⑭
が成り立つ。
3)例
Ａ＾＝ｘ
Ｂ＾＝（h/2πｉ）∂/∂ｘ （運動量演算子）
とすると、
Φ＝Ａ・exp（-ｉｋｘ）に対して、
［Ａ＾，Ｂ＾］Φ＝ｉ（ｈ/2π）Φ が成り立つ。
∴［Ａ＾，Ｂ＾］＝ｉ（ｈ/2π）
よって、
⊿ｘ・⊿ｐｘ≧(1/2)・(ｈ/2π) →位置と運動量は同時に正確に測定できない。
(3)波束の概念による理解（ボーア）
パルスとスペクトルの関係（フーリエ変換）：
足し合わせる波の振動数の幅⊿νが広いほど、パルスの時間の幅⊿ｔが短くなる。
⊿ν×⊿ｔ＝const．
両辺にｈを掛ければ、①より、
⊿E×⊿ｔ＝const．（＝ｈ/2π） →エネルギーと時間の不確定性
(4)定常状態の電子の波（定常波）
1)エネルギーの量子化
電子のエネルギーはとびとびの値をとる。
・エネルギー準位＝量子化されたエネルギーのひとつひとつ
・基底準位＝エネルギー準位のうち、最も低いもの
・量子数＝エネルギー準位の番号となるもの
2)パウリの排他原理
電子の場合、１つの準位には１個の電子しか入れない（スピンを考えると２個）。
3)波動関数の直交性
異なる準位の波動関数について、次の関係が成り立つ。
∫0LΨ＊ｎΨｍdx＝0 （ｎ≠ｍ） →波動関数の直交性