| [問題］ 自由に飛びまわる黒玉●と白玉○が同数(2k個ずつ)１つの箱に入っている。 箱の左半分をA、右半分をBとし、 Aには黒玉●のみ、Bには白玉○のみが入っているときの場合の数が １通りであるのに対し、 Ａ，Bいずれにも黒玉●と白玉○が同数入っているときの場合の数は N(2k)通りと表すこととする。 このとき、次のことを考察せよ。 (1) N(4)=36であることを、場合の数を数え上げることにより確認せよ。 (2) 一般にN(2k)=(2kCk)2={(2k)!/(k!)2}2 ここで、k!=k・(k-1)・(k-2)・(k-3)…3・2・1 この式に基づいて2k=6，8の場合のN(2k)を計算することにより、 kの増加に伴うN(2k)の傾向を予想し、 このことから、 時間の経過とともに、水の中に落としたインクが拡散し、 温度が不均一であった水が均一化すること、 およびその逆の現象は起こらないことを説明せよ。 |
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| [解説] ① 場合の数が多い状態に移行することを「エントロピーが増大する」といいます。 ② 「ただ１つの熱源から熱を取り、これを仕事に変えるばかりで 他に何の変化も外界に残さないサイクルをする装置」のことを 「第二種永久機関」といいますが、そのような装置は存在しません。 これを「熱力学第二法則」といいます。 ③ この「熱力学第二法則」は、 数学的にはエントロピー関数(変化容量を意味する系の状態量)の存在と 断熱変化ではエントロピーが決して減少しないという形に定式化されます。 ④ エントロピーの概念はそもそもマクロ的・熱力学的に定義されたものでしたが、 その後L.Boltzmannのミクロ的・統計力学的研究により、 これが巨視的条件下における微視的状態の数の対数関数、 すなわち、乱雑度、でたらめ度を表す量であることが明らかにされました。 註) ・第一種永久機関=エネルギー保存則に反する装置のこと。 ・熱力学第一法則=熱現象にまで拡張したエネルギー保存則 |
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