オイラーの多面体定理：
任意の凸多面体において、
その頂点、面、稜の数をそれぞれＥ，Ｆ，Ｋとすれば、つねに
Ｅ＋Ｆ−Ｋ＝２
であることを次の設問に従って証明せよ。
(1)頂点、面、稜の数を変えずに凸多面体Ｖを次のように変形させる。
すなわち、１つの面Ｓを底面と考えてこれを十分に拡大し、
他の面Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎがこの底面Ｓを上から覆うような形にする（図１）。
いま、Ａ，Ｂを底面Ｓの頂点ではない２頂点とし、
稜ＡＢをその辺とする２つの面をＳ１，Ｓ２とする。
ここで、
２頂点Ａ，Ｂを近づけて一致させる変形をｆとするとき、
この変形ｆの前後で、
Ｅ＋Ｆ−Ｋが不変であることを
イ）Ｓ１，Ｓ２がともに三角形である場合
ロ）Ｓ１，Ｓ２の一方が三角形で、他方が四角以上の多角形である場合
ハ）Ｓ１，Ｓ２がともに四角以上の多角形である場合
に分けて証明せよ。
(2)変形ｆを続けていくと、
凸多面体Ｖは最終的に、底面をＳとする多角錐となる（図２）。
このことと（１）の結論より、
如何なる凸多面体Ｖについても
Ｅ＋Ｆ−Ｋ＝２
が成り立つことを証明せよ。
※参考文献：黒須康之介著『平面立体幾何学』（培風館）
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◆上記小問がこの問題のヒントになっています。
設問に従って考えてみて下さい。