思考原理の説明（11）
１）［問題］ 正の数ｘ，ｙが 2/ｘ＋3/ｙ＝1 …① を満たすとき、ｘｙの最小値を求めよ。
2）この問題は、相加・相乗平均の関係を用いても解けますが、
ここでは１文字を消去する、という基本的な手法で解くこととします。
しかし、①式をｙについて解くと、ｙ＝3ｘ/（ｘ－2）
よって、ｘｙ＝3ｘ2/（ｘ－2）となり、ｘ＝2で不連続のちょっと複雑な分数関数になります。
これでも、ｘで微分して関数の増減表を作れば答は出ますが、ちょっと厄介です。
3）そこで、①式が線形ならばいいのになぁ、という願望のもとに
1/ｘ＝ｕ，１/ｙ＝ｖ と置きます。
この変換によって、この問題は
2ｕ＋3ｖ＝1 …①’
という線形の単純な条件の下に
ｕｖの最大値を求める問題に置き換わります。
以下、
ｕｖ＝ｕ（1－2ｕ）/3＝（－2/3）（ｕ－1/4）2＋1/24
となり、
ｕ＝1/4，ｖ＝1/6のとき、ｕｖは最大値1/24をとる。
これより、
ｘ＝4，ｙ＝6のとき、ｘｙは最小値24をとる。 …（答）
4）上記解法は、
①式のままではｘ，ｙがちょっと歪んだ複雑な関係にあって扱いにくいので、
一旦、1/ｘ＝ｕ，１/ｙ＝ｖ という線形の単純な関係に換えて計算処理をした後、
これを逆変換して答を求めたものであり、
この例から、単純形に持ち込む工夫は思考の負担を軽減し、見通しをよくすることがわかると思います。
5）なお、この例は、
「そのままでは計算処理が難しい場合に、ある変換を施し、そこで容易に計算処理をした後、
逆変換で戻ってくるという手法」
と捉えますと、
これは、例えば、
ラプラス変換を応用した微分方程式の解法、すなわち、
「微分方程式に対し、ラプラス変換を施して代数方程式に換え、その解を逆ラプラス変換で微分方程式の
解に戻す方法」
と同じ構造をもった解法とみることもでき、そういう観点で捉えても面白いと思います。